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小蘇姑娘上完線上數學課,寫數學習作時錯誤不少。指揮媽咪又讓她去多做了一些自修上的題目,仍是錯誤百出,代表她還是處於一知半解。這時,就是老身親自出馬的時候啦!(挺胸)
上線上教學課最大的問題是,很多學生都以為他們聽懂了,但其實沒有。
教書多年,知道這單元是很重要的基礎,卡著小數和分數的互換、還有小數乘或除以100的難關,數學不好的孩子都會在這裡敗下陣來。因此更會影響後續的數學學習。
和她講解小數化成百分率,可以:1.先化為分母為100的分數,2.也可以想像成小數被拯救了兩個數字,3.也可以當成小數點往後兩位數。不過,此時還要先解決她搞不清楚「小數點此時究竟在哪裡」的問題。
出了一堆題目,考驗她的是否真懂了,果然又錯了一排題目,再重新教一遍。
等到感覺她真的都弄懂後,再反過來,教百分率如何變回小數,也就是1.當成被除了100,寫成分母100的分數,2.或是當成被多關禁閉了兩個數字,3.也可以當成小數點往前移動兩位數。
講解完,繼續狂出一排題目考驗她。有了先前的練習經驗後,小蘇姑娘快速的答對這排題目。
為了考驗她是真懂、還是只是背公式,再出一排「小數變成百分率」、「百分率變成小數」交錯排列的題型來考驗她。
小蘇姑娘寫完,我瞄了一眼,說:「錯了一題,有一題小數點移動的方向反了。」小蘇姑娘檢視後,快速的找出了她寫錯的題目。
我說:「很好,此時你真的弄懂了。現在再回到你的數學習作及自修,去檢視先前你寫錯的題目,現在你一定知道自己為何算錯。」
小蘇姑娘開心的將答案遮住,重新計算先前她寫錯的題目。果然每一題都答對了,她的臉上也滿是成就感。
自從停課不停學後,我們反而能近距離在家裡,觀察小蘇姑娘在課室裡的學習表現、她在上課的專注度如何、她又是如何和老師與同學進行對話......輕聲調整她的學習態度,而且能跟她的學習進度,同步給予她更多協助。
疫情肆虐,人命關天,此時,我們真的沒有什麼好抱怨的。能和家人平安的生活在一起,就是最大的幸福。
而且,能夠有機會近距離參與孩子的學習,成為她學習上的協助者與偶像(咦?),我對於這樣從天上掉下來的難得機會,真是心存感謝啊!
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要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利,你要靠EV;而EV的計算,則涉及賠率(Odds)和機率(Probability)。一般賭局,賭率無論是固定,抑或不固定,都必定會顯示(例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等);然而,勝負機率卻永遠隱藏。
計算機率可以非常複雜,看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的,相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單,有些連小學作業都有教。
為什麼又可以簡單?又可以複雜呢?這要由「機率是什麼」說起。
首先,機率就像重量、長度、價錢等,是一個量度值。當你想知道自己的體重,你會站在電子磅;當你想知道自己的身高,你會用尺量度;當你想知過大海船票幾貴,你會查一查價錢;而當你想知道一件事情發生的可能性,你便要計算機率。
那麼,有什麼事你會想知它的可能性呢?擲一粒骰「擲到七點」的可能性,你會想計算嗎?不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼,擲骰擲到整數的可能性,你又會想計算嗎?不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見,當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時,你不會問可能性。換言之,當你不肯定某事情是YES還是NO時,你才會想窺探可能性。
最家傳戶曉的例子,非擲毫莫屬:究竟下一回是公定字呢?
雖然機率是數學之中的一個範疇,但機率在語言之中也佔了一席位,縱使未曾學過機率,都會以「五十五十」來描述擲毫的結果,即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十(50%)。
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通,因為一整份是100%,各分一半自然是各佔50%,亦是兩份之中取一份,二份之一也。
分數概念對機率非常便利,將虛無飄渺的機率圖像化,轉化成「切蛋糕」的情況--由於你深信擲公和字的可能性均等,公和字就像一對雙胞胎,要吃相同份量的蛋糕,身為父母你便得把蛋糕一分為二,一份給公,一份給字,二份之一也。
此平平無奇的「二份之一」概念,更足以延伸至更多情況:
擲一粒骰子,擲得一點的機率是多少?
由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同,它們就像六胞胎平分生日蛋糕,你把蛋糕一分為六,一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率,六份之一是也。
只要看得穿多少胞胎在分蛋糕,便能運算出機率。
雖然擲毫的機率十分顯淺,顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣,然而,由擲毫和擲骰引起的誤解,同時惹來不少人放棄了機率,甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是:
「擲公字的機率是二份之一,那麼,要是第一局己擲到了一次公,下一局將必定擲到字嗎?」
當然不是!否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎?這是天方夜譚吧。再者,若「必定」梅花間竹地出現,機率該是100%,這一點也抵觸了「二份之一」的說法。
「既然二份之一的機率,並不代表能夠預測下一局,對賭客來說又有什麼意思?」
答案很簡單,就是用來計算EV,預知定然的長遠結果。
明白了機率的意思和功用之後,接下來正式講解機率的3大運算方法:
1. 窮舉法(Exhaustive Method):一次隨機事件
先前提過,基本的機率運算,是平均分蛋糕的遊戲。由此可見,「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好,這種「有幾」的問題,都只是嬰孩學「數手指」(即數數目)可以應付的問題。
由擲公字的例子起步,全部的情況有「公」和「字」,我們就這樣數:
「公……第一個;字……第二個。總共兩個。」
即問題涉及雙胞胎,將蛋糕分成兩份。
如想知擲得「公」的機率,我們又再數過:
「公……第一個。總共一個。」
可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份,二份之一也。
擲骰子亦同樣,這樣數全部的情況:
「一點……第一個;兩點……第兩個;三點……第三個;四點……第四個;五點……第五個;六點……第六個。總共六個。」
即問題涉及六胞胎,將蛋糕分成六份。
如想知擲得「雙數」(即2、4、6)的機率,我們又再數過:
「兩點……第一個;四點……第二個;六點……第三個。總共三個。」
可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份,六份之三也。
兩題的答案,分別是「二份之一」( )和「六份之三」( ),究竟誰大誰小呢?欲比較分數,可以先將它化簡,繼續直接觀察,或者相減或相除。然而,分數的觸覺並非人皆有之,曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此,我建議採取較「平易近人」的百份率(%),換算方法是--將分子除以分母,再乘以100,便是百份之多少,即多少%了。
機率(%)=分子÷分母×100
以上述的結果為例,先把1除2,再乘以100,得出50,即擲得公的機率為 50%;把3除以6,再乘以100,得出50,即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色,「一樣那麼可能」。
由這兩個例子得知:只要能夠準確細數可能發生的情況(我稱之為懂得數手指)便能夠計算基本的機率了。
當然,懂得數手指並不等如一定數得清,當數量太多的時候,例如打麻雀(144隻牌)一起手便食糊(又稱食天糊)的機率,逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人,的確能夠把所有可能性徹底列出,但整個過程也拖太久了吧?
因此,數數目亦應該要有聰明的方法。
2. 列表法(Tabulation):兩次隨機事件
以擲骰子為例,擲一粒骰當然能夠「數手指」,因為只得6面。可是,如果擲兩粒骰呢?總有多少個可能的結果?
「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個;第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性,最終便會得知,總共有36個可能發生的結果。
列出來當然可以,但無可否認實在太煩了,而煩,亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢?
日常生活中,有一種表達方法,很值得參考,就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹,因此會是兩個馬匹號碼互相配搭,例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」,情形就像2粒骰的點數,「一點」加「六點」。
由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下:
每一格分別代表一個情況,例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點,綠色的骰子三點」。 由此可見,擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之,將蛋糕切成36份。
如問擲得總點數為10的機率,使用「馬經作圖法」答案一目了然:
非常明顯,共有3個格子,是兩骰點數相加為十(分別是(4,6)、(5,5)和(6,4))因此這三十六胞胎,現在有三胞胎說要吃蛋糕了,在「36份之」中吃了「3」份,答案是「36份之3」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
值得留意的是,這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方:
試想想,現有6張卡,分別畫了骰子的6面,現在你隨機抽取兩張,請問2張卡的點數相加為十的機率是多少?
很多人會照舊作答「36份之3」,原因是問題只是將骰子變成卡片,情況不甚改變,而且,使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表:
可惜這是錯的,答案錯,列表也是錯的,錯在算少了一著:擲骰子可以擲到相同數字,例如2粒骰都是一點,但抽卡並不能抽到相同數字呢!卡片只得1張,你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此,列表應修正如下:
灰色代表根本不可能發生的情況,即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表,蛋糕應平分為30份,而不是36份。符合相加為十的結果,亦不是3個,而是2個,因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此,修正後的答案為「30份之2」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
3. 樹狀圖(Tree Diagram):兩次或以上隨機事件
雖然列表可以將可能性整齊地列出來,但列表也有它的局限之處,就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件,則要靠樹狀圖了。
以擲毫為例,如連擲三枚硬幣,擲得至少一次公的話,你便可以獲得8000元,這個遊戲值得花5000元去玩嗎?
首先,你得知道勝出這賭局的機率,即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件,因此無法使用列表法,非用樹狀圖不可:
樹狀圖就像旅行路線圖,每一條路都是一個行程,每一個行程就是每一個可能性,不妨逐個寫出來看看:
由圖所示,這年遊戲總共有8個結局,而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金,由此使用「分蛋糕」概念,你勝出遊戲的機率是8份之7,換算成百分率,即87.5%。
賠率則這樣計算:以5000元當作1注,如得勝則淨贏3000元,即贏3000÷5000注,又即0.6注。因此,你若參與這個賭局,你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%,是一個正數。長賭下去,你將會獲取40%的純利,當然值得參與賭局。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
A ── 會考 Math 數學
A ── 會考 Additional Math 附加數學
A ── 高考 Pure Math 純粹數學
A ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
A ── IAL Core Math 1 2
A ── IAL Core Math 3 4
A ── IAL Further Pure Math 1
A ── IAL Mechanics 2
A ── IAL Mechanics 3
A ── IAL Statistics 1
A ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo
![post-title](https://i.ytimg.com/vi/e5eHDlXDr3M/hqdefault.jpg?sqp=-oaymwEbCKgBEF5IVfKriqkDDggBFQAAiEIYAXABwAEG&rs=AOn4CLATQRX59MedYUeZZX1UkRlpnZhu0g)
百分率 答案 在 Fernando Chiu-hung Cheung Youtube 的最佳解答
2013年1月9日立法會會議的延續
-全面檢討強制性公積金計劃
張超雄議員:代理主席,強制性公積金("強積金")是一個社企。不過,跟我們理解的社企不同,我們以為社會企業是通過一個企業的手段來達成一些公共利益的事,但強積金則以社會的外觀、名義,以公益名義,達成企業的目的,即賺錢。有些報章曾經用"天仙局"來形容強積金,我是贊成的。
大家看看強積金推出後,以退休保障的名義,說要照顧老人家、照顧他們的退休生活,但實際上是甚麼人得益呢?現在強積金制度實行了12年,實際上誰是受益人、誰是受害人呢?答案很清楚。這個強積金制度牽涉的不同持份者實在太多,除了有份供款的"打工仔女"和僱主外,從中"掠水"的其他人有很多,包括受託人、中介人、保薦人、投資經理、管理人,還有保管人,真的名目眾多,還有強制性公積金計劃管理局("積金局")......現在不叫強積金,因為"強"字不好聽。
我翻看積金局去年的年報,去年的開支達四億多元,現在整個水塘有四千多億元,每年供款三百多億元。剛才鄧家彪議員都說過,大家都知道,前年的行政費便要六十多億元,將來亦會不斷增加,行政費比率高達1.74%。我們再這樣供款下去的話,行政費將會上升至七十多億元、八十多億元,甚至過百億元,真的很離譜。究竟誰是贏家呢?應該是積金局。積金局的官員高薪厚職,其行政總裁過去的年薪五百多萬元,可說是必贏的,許仕仁不再當官後也曾當此職,甚至獲得加薪。此外,剛才提到的甚麼人,全部都是必贏的,他們替供款人投資,不論賺或蝕,全部都必然收費。贏家還有誰呢?就是大企業。大企業為何是贏家呢?
我在理工大學任教,理工大學以往的退休保障制度是ORSO計劃,即僱主供兩份、僱員供1份,如果僱員的年資長的話,僱主供款的份數便會增加。過往很多大企業都是這樣,因為要留住人才,而且規模大的企業有能力提供一個比較好的退休保障給僱員。自強積金推出後,棒極了,省回不少,僱主不需要供兩份甚至3份,只供僱主部分便可以,現在全部都是這樣。所以,強積金實行後,所有大企業都節省了不少,真是棒極了,但僱員的保障比以前更差。
中小型企業("中小企")又怎樣呢?中小企的確是輸家。代理主席,你很多時候都說自己代表中小企。我們看到強積金推出後,中小企的負擔的確增加了。以往中小企未必有能力提供這些退休保障,現在有了強積金後,便一定要提供。不過,為了"哄"中小企入局,當局便欺騙我們,因為僱主這筆供款是可以對沖的,所以沒有問題。很多行業都是做了一段時間後,便更換公司名稱或很多間公司轉來轉去,把僱主原本要支付的長期服務金或遣散費對沖了,這方面便沒有吃虧。所以,現階段如果要取消對沖機制的話,將會有很多中小企有怨言。
但是,如果不取消的話,根本完全是找"打工仔女"便宜,完全是欺騙僱員,最後僱主供款這部分全部被對沖,而餘下僱員供款的部分又被基金經理和中間人蠶食。David WEBB這位股壇"長毛"計算過,現在這一、兩個百分率,40年後,便蠶食了他二、三十個百分率,明顯是佔便宜,一個這樣爛的制度竟實行了十多年。
代理主席,我想我可能是立法會議會內其中一個最早發言反對強積金的人。在1997年的時候,我剛從美國回來不久,我看到這個制度便已經知道不可行。我當年參加社會保障學會,跟莫泰基教授一起希望推動一個全民性的退休保障制度,這個制度是一個社會保險形式,全世界都可行,我記得當年陳婉嫻議員和工聯會都支持。
但是,很可惜,政府後來因為種種原因 -- 政治原因 -- 不實行,便用了這個"桔"來代替一個本來要實行的很好的全民退休制度。對於工聯會當年的態度,我真的感到很失望,因為"嫻姐"曾參與推動強積金。我記得很清楚,她甚至協助拍攝宣傳物品,我當時感到很心痛,到現在仍感到心痛。我覺得很可惜,當年我們行了這條錯路,現在我們要收拾殘局。
所以,最低限度在短期內我們要設立一個公共信託,讓市民有所選擇,可以把供款放入中央,而不再被這些公司剝削。訂定收費上限是必然的。
日 期: 2013年1月10日(星期四)
時 間: 上午11時
地 點: 立法會綜合大樓會議廳
議程: http://www.legco.gov.hk/yr12-13/chine...
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小五數學- 比率與 百分率. ... 實力數學教室510901[國小五下] 第九章比率 百分率 1. math kuo•9K views · 37:08 · Go to channel ... ... <看更多>
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